Калькулятор зворотного перетворення Лапласа

Автор: Henrick Yau

- 26 вересня 2026

| |

Цей калькулятор знаходить обернене перетворення Лапласа функції F(s). Він перетворює функції з s-області назад у часову область, що корисно для розв'язання диференціальних рівнянь та аналізу систем керування.

Введення функції

F(s):

Часова змінна:

Метод обчислення:

Параметри відображення

Показати кроки обчислення

Використовувати позначення LaTeX

Використовувати позначення одиничного стрибка (Хевісайда)

Спростити результати

Результати оберненого перетворення Лапласа

Обернене перетворення

f(t) = 0

f(t) = L^-1{F(s)}

Область визначення

t ≥ 0

Де визначено перетворення

Покроковий розв'язок

Визначення оберненого перетворення Лапласа

Для функції F(s) обернене перетворення Лапласа визначається як:

f(t) = L^-1{F(s)} = (1/2πi) ∫_γ-i∞^γ+i∞ F(s)e^st ds

де γ вибирається так, щоб усі особливості F(s) лежали зліва від лінії Re(s) = γ у комплексній площині.

Поширені обернені перетворення Лапласа

F(s)	f(t) = L^-1{F(s)}	Умови
1/s	1	t > 0
1/sⁿ	t^n-1/(n-1)!	t > 0, n > 0
1/(s-a)	e^at	t > 0
s/(s²+a²)	cos(at)	t > 0
a/(s²+a²)	sin(at)	t > 0
1/(s²+a²)	(1/a)sin(at)	t > 0
1/(s²-a²)	(1/a)sinh(at)	t > 0

Про обернене перетворення Лапласа

Обернене перетворення Лапласа переводить функцію з s-області (частотної області) назад у часову область. Це потужний інструмент для розв'язання диференціальних рівнянь, аналізу систем керування та обробки сигналів.

Ключові властивості

Лінійність: L^-1{aF(s) + bG(s)} = aL^-1{F(s)} + bL^-1{G(s)}
Зсув у часі: L^-1{e^-asF(s)} = f(t-a)u(t-a), де u — одинична ступінчаста функція
s-Зсув: L^-1{F(s-a)} = e^atf(t)
Масштабування: L^-1{F(as)} = (1/a)f(t/a)
Диференціювання: L^-1{sF(s) - f(0)} = f'(t)
Інтегрування: L^-1{F(s)/s} = ∫₀^t f(τ) dτ

Методи знаходження обернених перетворень

Розклад на прості дроби: Розкладіть складні раціональні функції на простіші доданки з відомими оберненими перетвореннями.
Табличний пошук: Порівняти зі стандартними формами в таблиці відомих перетворень.
Властивості та теореми: Застосувати властивості, як-от лінійність, часові зсуви або згортку.
Комплексне інтегрування: Використати інтеграл Бромвіча для теоретичних виведень.

Застосування

Диференціальні рівняння: Перетворення розв'язків з s-області назад у часову область.
Системи керування: Аналіз реакцій систем на вхідні сигнали.
Аналіз кіл: Знаходження часових реакцій електричних кіл.
Обробка сигналів: Перетворення передавальних функцій на імпульсні характеристики.

Формула оберненого перетворення Лапласа:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) e^{st} ds \)

Що таке калькулятор оберненого перетворення Лапласа?

Цей інструмент допомагає перетворювати функції з області Лапласа або частотної області назад у часову область. Він особливо корисний при розв'язуванні диференціальних рівнянь, аналізі систем керування або інтерпретації сигналів. Вводячи функцію \( F(s) \), калькулятор надає її обернене перетворення \( f(t) \), що дозволяє легко проводити аналіз у часовій області.

Переваги автоматичного оберненого перетворення Лапласа

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа економить час, автоматизуючи символьні обчислення. Він корисний як в академічних, так і в інженерних цілях і слугує альтернативою ручному пошуку в таблицях перетворень або виконанню складних інтегрувань.

Деякі переваги включають:

Швидке перетворення функцій з області Лапласа у вирази часової області
Можливість досліджувати різні методи розв'язання, такі як розклад на прості дроби або використання таблиць
Перегляд покрокових пояснень розв'язку
Вибір бажаного формату запису, включаючи LaTeX та функції Гевісайда

Кроки для оберненого перетворення Лапласа

Виконайте ці прості кроки, щоб знайти обернене перетворення Лапласа функції:

Введіть функцію в області Лапласа \( F(s) \) (наприклад, 1/s або 1/(s^2 + 1))
Виберіть змінну часу, наприклад t, x або τ
Виберіть метод:
- Розклад на прості дроби: Найкраще підходить для раціональних виразів
- Властивості та теореми: Використання правил та тотожностей перетворення Лапласа
- Пошук за стандартною таблицею: Пряме зіставлення з відомими шаблонами
Необов'язково: Налаштуйте параметри відображення, такі як виведення в LaTeX, спрощення або позначення Гевісайда
Натисніть "Знайти обернене перетворення", щоб побачити результат

Де цей інструмент є корисним

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа є цінним у сферах, де необхідно аналізувати поведінку в часовій області на основі даних з частотної області. Це включає:

Системи керування: Визначення реакції системи на вхідні сигнали
Диференціальні рівняння: Розв'язування функцій, що описуються швидкостями зміни
Обробка сигналів: Перетворення передавальних функцій у часові сигнали
Електротехніка: Аналіз RLC-ланцюгів та перехідних процесів

Часті запитання про ввод і кроки

Які типи функцій я можу вводити?

Ви можете вводити раціональні функції, многочлени та інші стандартні вирази перетворення Лапласа, такі як 1/s, s/(s^2 + 1) або 1/(s^2 + 2s + 2).

Чи може він показати, як було отримано розв'язок?

Так, якщо позначено опцію "Показати кроки обчислення", ви отримаєте детальний опис кроків, використаних для отримання оберненого перетворення.

Що означає опція "Використовувати позначення LaTeX"?

Вона форматує математичний вивід за допомогою LaTeX, що робить вирази легшими для читання тим, хто знайомий з математичним набором.

Що таке позначення Гевісайда?

Воно представляє одиничні ступінчасті функції (наприклад, u(t)), які часто використовуються при роботі з кусково-заданими або зсунутими сигналами в аналізі часової області.

Інструменты для інтегрування і диференціювання

Калькулятор частинних похідних: Ідеально підходить для диференціювання функцій багатьох змінних та покрокового обчислення частинних похідних
Калькулятор первісних: Допомагає знаходити первісні та розв'язувати задачі на інтегрування
Калькулятор похідних: Швидко обчислюйте похідні онлайн та переглядайте миттєві результати
Калькулятор другої похідної: Корисний для аналізу опуклості та кривини функцій
Калькулятор диференціальних рівнянь: Ефективно розв'язуйте лінійні та нелінійні звичайні диференціальні рівняння
Калькулятор перетворення Лапласа: Перетворюйте функції часової області в область Лапласа

Ефективний перетворятель Лапласа в часову область

Калькулятор оберненого перетворення Лапласа — це ефективний та простий у використанні інструмент, який допомагає перетворювати вирази з частотної області назад у часову область. Незалежно від того, чи аналізуєте ви реакції систем, розв'язуєте рівняння або вивчаєте інженерні теми, цей калькулятор надає точні результати та змістовні кроки всього за кілька кліків.