Калькулятор векторів

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Калькулятор векторів

Обчислення векторних операцій, включаючи додавання, віднімання, скалярний добуток, векторний добуток тощо. Цей калькулятор підтримує 2D та 3D вектори та надає покрокові деталі обчислень.

Вхідні вектори

Вектор 1
Вектор 2

Параметри відображення

Про векторні операції

Вектори — це математичні об'єкти, які мають величину та напрямок. Вони є основою у фізиці, інженерії, комп'ютерній графіці та багатьох інших галузях. Цей калькулятор підтримує поширені векторні операції у 2D та 3D просторі.

Основні векторні операції
  • Додавання: Додає відповідні компоненти двох векторів, утворюючи новий вектор.
  • Віднімання: Віднімає компоненти одного вектора від іншого, корисно для знаходження векторів зміщення.
  • Скалярний добуток: Скалярний добуток двох векторів, що дає одне число, пов'язане з кутом між векторами.
  • Векторний добуток: Створює вектор, перпендикулярний до обох вхідних векторів (лише 3D).
  • Модуль: Довжина вектора, обчислена за теоремою Піфагора.
  • Нормалізація: Створює одиничний вектор (довжина 1), спрямований у тому ж напрямку, що й вихідний вектор.
  • Кут між векторами: Обчислюється за формулою скалярного добутку.
  • Проекція: Проектує один вектор на інший, корисно у фізиці та графіці.
  • Множення на скаляр: Множить вектор на скаляр, змінюючи його модуль, але не напрямок.
Застосування

Векторні обчислення є важливими в багатьох галузях:

  • Фізика (сили, швидкості, поля)
  • Інженерія (структурний аналіз, електричні кола)
  • Комп'ютерна графіка та розробка ігор
  • Робототехніка та навігація
  • Машинне навчання та аналіз даних
  • Геометрія та лінійна алгебра

Додавання векторів:

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z) $$

Скалярний добуток:

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

Векторний добуток:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) $$

Модуль вектора:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $$

Кут між векторами:

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \right) $$

Проєкція вектора:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $$

Нормалізація:

$$ \hat{a} = \frac{ \vec{a} }{|\vec{a}|} $$

Множення на скаляр:

$$ k\vec{a} = (k \cdot a_x,\ k \cdot a_y,\ k \cdot a_z) $$

Що таке калькулятор векторів?

Калькулятор векторів — це зручний онлайн-інструмент, який допомагає виконувати основні операції з векторами у двовимірному та тривимірному просторі. Він охоплює такі обчислення, як додавання та віднімання векторів, скалярний добуток, векторний добуток, модуль, нормалізацію, кут між векторами, проєкцію та множення на скаляр. Це робить його корисним для студентів, викладачів, інженерів та всіх, хто працює з лінійною алгеброю або фізикою.

Як користуватися калькулятором векторів

  • Виберіть кількість вимірів: 2D або 3D.
  • Оберіть потрібну операцію з векторами зі спадного меню.
  • Введіть компоненти векторів і скаляр (за потреби).
  • Використовуйте опції для налаштування десяткової точності, відображення кроків обчислення або візуалізації векторів.
  • Натисніть кнопку Обчислити, щоб отримати результат.
  • Натисніть Скинути, щоб почати нове обчислення.

Основні можливості

  • Покрокові результати: Чітко пояснює кожен етап обчислення.
  • Підтримка 2D і 3D: Оберіть розмірність, яка відповідає вашій задачі.
  • Інтерактивна візуалізація: Переглядайте вектори та результати на живому полотні.
  • Різноманітні операції: Від простого додавання векторів до векторних добутків і проєкцій.
  • Контроль точності: Налаштовуйте кількість десяткових знаків відповідно до ваших потреб.

Навіщо використовувати цей калькулятор?

Векторна математика є важливою в багатьох сферах навчання та роботи. Цей калькулятор спрощує процес, дозволяючи зосередитися на задачі, а не на обчисленнях. Чи ви працюєте над аналізом сил у фізиці, напрямками даних у комп'ютерній графіці або розв'язуєте задачі з лінійної алгебри — цей інструмент швидко надасть точні відповіді.

Ви також можете використовувати його разом з іншими інструментами, як-от Інструмент додавання векторів, щоб дослідити, як вектори поєднуються, або Інструмент обчислення модуля вектора, щоб визначити довжину вектора. Під час роботи з ширшими матричними задачами вам можуть стати в нагоді такі інструменти, як Калькулятор LU-розкладу, Інструмент QR-факторизації та Інструмент оберненої матриці.

Часті запитання (FAQ)

Що таке вектор?

Вектор — це величина, яка має як модуль (довжину), так і напрямок. Вектори представляються координатами у 2D або 3D просторі, наприклад (x, y) або (x, y, z).

Чи можна використовувати цей інструмент для задач з фізики?

Так. Він корисний для розв'язання задач, пов'язаних із силою, швидкістю, переміщенням та іншими векторними величинами у фізиці.

Яка різниця між скалярним і векторним добутком?

Скалярний добуток дає скалярне значення і пов'язаний з кутом між двома векторами. Векторний добуток створює інший вектор, перпендикулярний до двох вихідних (лише в 3D).

Що робити, якщо мені потрібно просто помножити вектор на число?

Використовуйте опцію множення на скаляр, щоб масштабувати вектор на постійне значення (наприклад, подвоїти його довжину).

Чи можна побачити, як було виконано обчислення?

Так. Позначте прапорець "Показати кроки обчислення" перед тим, як обчислювати, щоб переглянути детальний опис.

Пов'язані інструменти, які можуть бути корисними

  • Калькулятор множення вектора на скаляр – Легко множте вектори на скаляри.
  • Калькулятор скалярного добутку – Швидко обчислюйте скалярні добутки.
  • Калькулятор векторного добутку – Виконуйте множення 3D векторів.
  • Калькулятор оберненої матриці – Корисний для розв'язання векторних систем за допомогою матриць.
  • Інструмент LU-факторизації матриці – Розкладайте матриці на нижню та верхню складові для розв'язання систем.

Цей калькулятор векторів є практичним і надійним інструментом для всіх, хто вивчає або працює з векторами. Він підтримує широкий спектр операцій і представляє результати у зрозумілій та інформативній формі.