Калькулятор оберненої похідної

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Калькулятор оберненої похідної

Знайти первісну (невизначений інтеграл) функції. Цей калькулятор допомагає визначити початкову функцію за її похідною.

Введіть функцію

Параметри відображення

Про первісні та інтегрування

Первісна (або невизначений інтеграл) функції f(x) — це функція F(x), похідна якої дорівнює f(x). Іншими словами, якщо F'(x) = f(x), то F(x) є первісною для f(x).

Основні властивості первісних
  • Якщо F(x) є первісною для f(x), то F(x) + C також є первісною, де C — довільна константа
  • Первісна суми дорівнює сумі первісних: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Правило множення на константу: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, де k — константа
  • Степеневе правило: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, де n ≠ -1
  • Інтегрування e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Інтегрування 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Застосування інтегрування

Первісні та інтегрування мають численні застосування в:

  • Знаходженні площі під кривими та між кривими
  • Обчисленні об'ємів тривимірних об'єктів
  • Розв'язуванні диференціальних рівнянь
  • Фізичних застосуваннях: робота, енергія та рух
  • Теорії ймовірностей та статистиці
  • Інженерії: аналіз напружень, гідродинаміка тощо

Що таке калькулятор оберненої похідної?

Калькулятор оберненої похідної — це зручний інструмент, який дозволяє знайти початкову функцію f(x) з її похідної f′(x). Цей процес, відомий як знаходження первісної або невизначеного інтеграла, є основоположним у математичному аналізі та використовується в різноманітних наукових та інженерних застосуваннях.

Загальна формула:

∫f′(x) dx = f(x) + C

Навіщо використовувати цей калькулятор?

Цей інструмент для оберненої похідної допомагає легко розв'язувати задачі на інтегрування. Він ідеально підходить для студентів, викладачів та професіоналів, яким потрібен швидкий і надійний спосіб:

  • Знаходити первісні для алгебраїчних або тригонометричних виразів
  • Розуміти кроки інтегрування завдяки детальним поясненням
  • Візуалізувати функції за допомогою автоматичної побудови графіків f(x) та f′(x)
  • Використовувати виведення в LaTeX для акуратно відформатованих математичних виразів

Як користуватися калькулятором

Щоб обчислити первісну за допомогою цього калькулятора, виконайте ці прості кроки:

  • Введіть вираз похідної у поле введення (наприклад, 2*x)
  • Вкажіть змінну інтегрування (за замовчуванням — x)
  • За бажанням введіть значення константи C, сталої інтегрування
  • Позначте опції, щоб показати кроки або відобразити результати за допомогою LaTeX
  • Натисніть Обчислити, щоб побачити результат
  • Використовуйте кнопку Скинути, щоб почати нове обчислення

Кому це буде корисно?

Цей калькулятор може бути особливо корисним для:

  • Студентів, які вивчають математичний аналіз та інтегрування
  • Викладачів, які готують уроки з первісних та інтегрального числення
  • Професіоналів, які розв'язують математичні задачі у фізиці або інженерії

Що ви побачите в результатах

Після виконання обчислення інструмент покаже:

  • Початкову функцію f(x), відновлену з f′(x)
  • Кроки інтегрування (за бажанням) для навчальної наочності
  • Візуалізацію графіка з порівнянням похідної та первісної
  • Використані формули в процесі інтегрування

Поширені запитання

Що таке первісна?

Первісна — це функція, похідна якої дорівнює початковій функції. Якщо f′(x) = 2x, то f(x) = x² є первісною для f′(x).

Чи може цей калькулятор працювати з усіма типами функцій?

Цей інструмент може обчислювати первісні для багатьох поширених функцій, включаючи многочлени, тригонометричні вирази та експоненти. Однак складніші вирази можуть не підтримуватися.

Що таке стала інтегрування?

При розв'язуванні невизначеного інтеграла існує нескінченно багато можливих первісних, які відрізняються на константу. Ця константа позначається як C і може бути встановлена вручну в калькуляторі.

Чи показує цей калькулятор кроки інтегрування?

Так. Якщо ви ввімкнете опцію "Показати кроки інтегрування", калькулятор надасть детальний опис того, як було отримано результат, що полегшує його розуміння.

Чи це те саме, що й калькулятор похідних?

Ні. Калькулятор похідних знаходить швидкість зміни функції, тоді як цей калькулятор оберненої похідної відновлює початкову функцію з її швидкості зміни. Однак вам також можуть стати в нагоді такі інструменти, як Калькулятор частинних похідних, Інструмент для другої похідної або Калькулятор похідної за напрямком для ширших завдань диференціювання.

Досліджуйте більше інструментів для математичного аналізу

Якщо ви часто працюєте з математичним аналізом, ці інструменти також можуть бути корисними:

  • Калькулятор первісної – розв'язуйте задачі на інтегрування покроково
  • Розв'язувач частинних похідних – працюйте з диференціюванням функцій багатьох змінних
  • Калькулятор другої похідної – аналізуйте опуклість та точки перегину
  • Калькулятор інтегралів – для визначених та невизначених інтегралів
  • Калькулятор похідних – миттєво знаходьте перші похідні

Використовуючи цей калькулятор оберненої похідної, ви можете заощадити час, ефективніше вивчати техніки інтегрування та набути впевненості у розв'язуванні задач з математичного аналізу.