Калькулятор дивергенції

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Калькулятор дивергенції

Обчисліть дивергенцію векторного поля. Дивергенція вимірює швидкість, з якою «густина» виходить із заданої області простору, і є ключовим поняттям векторного числення.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Введення векторного поля

Параметри відображення

Про дивергенцію

Дивергенція — це скалярна величина, яка вимірює тенденцію векторного поля «витікати» з точки або до точки. Позначається як ∇·F (дель-крапка-F) або div F.

Математичне визначення:

Для векторного поля F = (F₁, F₂, F₃) у тривимірних декартових координатах дивергенція визначається як:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Фізична інтерпретація:

Дивергенція вимірює чистий потік поля з малого об'єму навколо точки. У даній точці:

  • Додатна дивергенція: поле витікає назовні (джерело)
  • Від'ємна дивергенція: поле втікає всередину (стік)
  • Нульова дивергенція: поле не має чистого витоку або втоку (нестисливе)
Дивергенція в різних системах координат:

Декартові координати (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Циліндричні координати (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Сферичні координати (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Застосування:
  • Електромагнетизм: Закон Гаусса пов'язує дивергенцію електричного поля з густиною заряду
  • Гідродинаміка: Дивергенція поля швидкостей вказує на стисливість рідин
  • Теплопередача: Дивергенція теплового потоку описує джерела або стоки тепла
  • Квантова механіка: Дивергенція густини струму пов'язана із збереженням заряду

Що таке калькулятор дивергенції?

Калькулятор дивергенції — це інтерактивний інструмент, який допомагає обчислити дивергенцію векторного поля у двовимірному або тривимірному просторі. Дивергенція — це поняття з векторного аналізу, яке показує, наскільки векторне поле розходиться або збігається в заданій точці. Цей інструмент підтримує декартову, циліндричну та сферичну системи координат.

Він особливо корисний для студентів, інженерів та всіх, хто працює з фізичними полями, такими як потік рідини, електромагнетизм або термодинаміка.

Формула дивергенції в декартових координатах:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Основні можливості

  • Підтримка двовимірних і тривимірних векторних полів
  • Вибір між декартовою, циліндричною та сферичною системами координат
  • Можливість обчислення дивергенції в конкретній точці
  • Покроковий розрахунок частинних похідних
  • Можливість спрощення результатів і контроль точності десяткових знаків

Як користуватися калькулятором

  1. Виберіть кількість вимірів (2D або 3D).
  2. Оберіть систему координат, яка відповідає вашій задачі.
  3. Введіть компоненти векторного поля (наприклад, F₁, F₂, F₃).
  4. За бажанням увімкніть опцію "Обчислити в точці", щоб виконати обчислення в конкретній точці.
  5. Налаштуйте параметри відображення, такі як кількість десяткових знаків або одиниці вимірювання кутів.
  6. Натисніть Обчислити дивергенцію, щоб отримати результат і, за бажанням, покрокове розв'язання.

Чому це корисно?

Розуміння дивергенції допомагає інтерпретувати поведінку поля в просторі. Цей інструмент дозволяє:

  • Обчислювати дивергенцію візуально та точно
  • Досліджувати поведінку полів у фізиці, інженерії та математиці
  • Практикувати багатовимірне диференціювання та обчислення частинних похідних
  • Перевіряти обчислення, виконані вручну або під час розв'язання задач

Це особливо корисно в поєднанні з такими інструментами, як Калькулятор частинних похідних, Калькулятор похідної за напрямком або Калькулятор ротора, особливо під час вивчення багатовимірного аналізу.

Пов'язані інструменти

Цей калькулятор входить до сімейства математичних розв'язувачів, які включають:

  • Калькулятор частинних похідних – обчислення частинних похідних з покроковим поясненням
  • Калькулятор похідної за напрямком – аналіз змін векторного поля в заданому напрямку
  • Калькулятор другої похідної – оцінка змін другого порядку для глибшого аналізу
  • Калькулятор ротора – обчислення ротора векторних полів для дослідження обертальної поведінки

Поширені запитання

Що таке дивергенція?
Дивергенція показує, наскільки векторне поле розходиться (додатна дивергенція) або збігається (від'ємна дивергенція) у певній точці.

Чи може цей інструмент обчислювати частинні похідні?
Так. Калькулятор виконує багатовимірне диференціювання, обчислюючи частинні похідні кожної компоненти векторного поля.

Яка різниця між декартовою, циліндричною та сферичною системами координат?
Це різні способи опису положення в просторі. Декартова використовує (x, y, z), циліндрична — (r, θ, z), а сферична — (ρ, θ, φ). Оберіть ту, яка найкраще відповідає вашому полю або задачі.

Чи потрібно вводити числа чи функції?
Ви можете вводити вирази, як-от x*y*z, sin(θ) або r*cos(θ). Калькулятор працює з символьними виразами та може також обчислювати значення в конкретних точках, якщо це потрібно.

Чи працює він для двовимірних полів?
Так. Просто виберіть 2D, і інтерфейс відповідно налаштується. Третій компонент буде вилучено.

Чи можна навчитися за допомогою покрокових пояснень?
Звісно. Якщо ввімкнено опцію "Показати кроки розв'язання", інструмент детально пояснює, як обчислюються частинні похідні та як вони поєднуються в остаточний вираз дивергенції.