Калькулятор похідної за напрямком

Автор: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Калькулятор похідної за напрямком

Обчисліть похідну за напрямком функції в точці в напрямку заданого вектора. Введіть багатовимірну функцію та вкажіть точку й вектор напрямку, щоб обчислити, як функція змінюється в цьому напрямку.

Введення функції

Точка та напрямок

Параметри відображення

Про похідні за напрямком

Похідна за напрямком показує швидкість зміни функції в заданому напрямку. Вона узагальнює поняття часткової похідної, яка вимірює зміну лише вздовж координатних осей.

Ключові поняття
  • Градієнт (∇f): Вектор, що містить усі часткові похідні функції та вказує напрямок найшвидшого зростання.
  • Одиничний вектор (û): Нормалізована версія вектора напрямку з довжиною 1.
  • Формула похідної за напрямком: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, де · позначає скалярний добуток.
  • Інтерпретація: Вимірює, як швидко змінюється функція під час руху з точки в заданому напрямку.
Застосування
  • Оптимізація: Пошук напрямків найбільшого зростання/спадання.
  • Фізика: Обчислення швидкостей зміни в конкретних напрямках (тепловий потік, електричні поля).
  • Комп'ютерна графіка: Аналіз поверхонь та рендеринг.
  • Машинне навчання: Алгоритми оптимізації на основі градієнта.

Формула похідної за напрямом:

Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û

Що таке калькулятор похідної за напрямом?

Калькулятор похідної за напрямом — це зручний інструмент, який вимірює, як змінюється функція багатьох змінних у заданій точці вздовж обраного напрямку. Замість того, щоб просто визначати, як функція зростає чи спадає вздовж осі x або y окремо (як у часткових похідних), цей калькулятор показує, як функція поводиться вздовж будь-якого обраного вами напрямку.

Призначення та переваги

Цей інструмент допомагає вам:

  • Обчислювати похідні за напрямом швидко та точно.
  • Розуміти поведінку поверхні або кривої в різних напрямках.
  • Візуалізувати зв'язок між градієнтами та напрямками.
  • Перевіряти розрахунки під час розв'язання задач оптимізації чи фізики.
  • Покращити розуміння диференціювання функцій багатьох змінних та аналізу на основі градієнта.

Незалежно від того, чи ви вивчаєте математичний аналіз, фізику, чи працюєте в таких сферах, як машинне навчання та комп'ютерна графіка, використання інструменту для похідної за напрямом може заощадити час і поглибити ваше розуміння.

Як користуватися калькулятором

Виконайте ці кроки, щоб отримати результати:

  • Введіть функцію зі змінними, як-от x та y (наприклад, x^2 + y^2).
  • Вкажіть точку, у якій потрібно обчислити похідну (наприклад, x = 1, y = 1).
  • Задайте компоненти вектора напрямку (наприклад, x = 1, y = 0).
  • Виберіть налаштування, як-от кількість десяткових знаків, показ кроків, нормалізацію та візуалізацію.
  • Натисніть "Обчислити", щоб побачити результат, детальні кроки та візуальний графік.

За потреби ви можете легко скинути всі введені дані, натиснувши кнопку "Скинути".

Чому похідні за напрямом важливі

Похідні за напрямом важливі, оскільки вони показують, як поверхня піднімається, опускається або залишається плоскою під час руху в будь-якому обраному напрямку, а не лише вздовж стандартних осей. Такий тип аналізу широко використовується в:

  • Оптимізації для пошуку найкращих напрямків покращення.
  • Фізиці для вивчення полів, як-от потік тепла або електрики.
  • Машинному навчанні для алгоритмів на основі градієнта.
  • Комп'ютерній графіці для аналізу освітлення та затінення поверхонь.

Цей калькулятор похідної за напрямом добре працює з іншими математичними інструментами, такими як Калькулятор часткових похідних (для знаходження часткових похідних), Калькулятор другої похідної (для обчислення других похідних) або навіть Інструмент аналізу градієнта та напрямку.

Пояснення формули

Похідна за напрямом у точці (x, y) вздовж одиничного вектора û знаходиться за формулою:

Похідна за напрямом: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û

  • ∇f(x,y) — це градієнт функції в точці (x,y), що містить часткові похідні за x та y.
  • û — це одиничний вектор, що представляє обраний напрямок.
  • Скалярний добуток ( · ) показує, наскільки градієнт "спрямований" у цьому напрямку.

Часті запитання (FAQ)

Що таке похідна за напрямом?

Це міра того, як змінюється функція під час руху з точки в певному напрямку. Вона узагальнює часткові похідні, які розглядають лише зміни вздовж координатних осей.

Чим вона відрізняється від часткової похідної?

Часткова похідна показує лише швидкість зміни вздовж x або y незалежно. Похідна за напрямом поєднує обидва напрямки та будь-який інший довільний напрямок за допомогою вектора.

Чи потрібно нормалізувати вектор напрямку?

Так, зазвичай. Нормалізація вектора гарантує, що довжина напрямку дорівнює 1, тому ви вимірюєте чисту швидкість зміни без масштабування.

Чи можу я візуалізувати обчислення?

Так, калькулятор включає простий графік, що показує вектор градієнта, вектор напрямку та компонент, пов'язаний з похідною за напрямом.

Де ще можна використовувати похідні за напрямом?

Вони використовуються в оптимізації (для пошуку максимумів/мінімумів), фізиці (поля, як-от тепло та електрика), комп'ютерній графіці та машинному навчанні (градієнтний спуск).

Пов'язані інструменти, які можуть вас зацікавити

Для подальшого вивчення або розв'язання задач вам також можуть стати в нагоді: