Калькулятор потрійних інтегралів

Автор: Henrick Yau

- 30 вересня 2026

| |

Обчисліть та візуалізуйте потрійні інтеграли по різних областях у тривимірному просторі. Цей калькулятор допомагає задати межі інтегрування, візуалізувати область та обчислити результат.

Налаштування інтеграла

Система координат:

Декартова (x,y,z)

Циліндрична (r,θ,z)

Сферична (ρ,θ,φ)

Підінтегральна функція:

Використовуйте x, y, z для декартової; r, theta, z для циліндричної; rho, theta, phi для сферичної

Межі інтегрування (декартова)

до

Поточна область:

Верхня півсфера радіусом 1 з центром у початку координат

Опції

Показати покрокове рішення

Показати 3D-візуалізацію

Обчислити числовий результат

Підставити значення у кроки

Попередньо задані області

Результат інтеграла

∭(x² + y² + z²) dxdydz

Обчислений потрійний інтеграл

2π/5

Прибл. 1.2566

Покрокове рішення

3D-візуалізація області

Перетворення системи координат

Декартові координати (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

Елемент об'єму: dx dy dz

Циліндричні координати (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

Елемент об'єму: r dr dθ dz

Сферичні координати (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

Елемент об'єму: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Поширені потрійні інтеграли

Об'єм одиничної сфери

∭ dx dy dz = 4π/3

Область: x² + y² + z² ≤ 1

Об'єм одиничного куба

∭ dx dy dz = 1

Область: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

Об'єм циліндра

∭ dx dy dz = πh

Область: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

Момент інерції (сфера)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

Область: x² + y² + z² ≤ 1

Розуміння потрійних інтегралів

Потрійний інтеграл представляє об'ємний інтеграл функції по області в тривимірному просторі. Він розширює поняття одинарних і подвійних інтегралів на три виміри.

Визначення

Потрійний інтеграл функції f(x,y,z) по області V у тривимірному просторі визначається як:

∭_V f(x,y,z) dV

Це представляє суму значень f по всій області V, зважену на елемент об'єму dV.

Різні системи координат

Потрійні інтеграли можна обчислювати в різних системах координат:

Декартова: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Циліндрична: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Сферична: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Вибір системи координат має відповідати симетрії задачі, щоб спростити обчислення.

Застосування

Потрійні інтеграли мають багато практичних застосувань, зокрема:

Обчислення об'ємів складних тривимірних фігур
Знаходження центру маси твердого тіла
Обчислення моментів інерції у фізиці
Визначення загального електричного або гравітаційного потенціалу в області
Розв'язання задач гідродинаміки та електромагнетизму

Застереження: Цей калькулятор надає наближені значення для навчальних цілей. Для критичних застосувань, що потребують високої точності, перевіряйте результати за допомогою спеціалізованого математичного програмного забезпечення або консультуйтеся з професійним математиком.

Онлайн-калькулятор для тройных интегралов

Калькулятор потрійних інтегралів — це зручний онлайн-інструмент, який допомагає обчислювати та розуміти потрійні інтеграли — метод знаходження об'єму під поверхнею в тривимірному просторі. Незалежно від того, чи працюєте ви з декартовими, циліндричними або сферичними координатами, цей калькулятор дозволяє задати підінтегральну функцію, ввести межі інтегрування та отримати як символьні, так і числові розв'язки з можливістю покрокового пояснення та 3D-візуалізації.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Для кого и зачем нужен тройной интеграл

Цей калькулятор стане в нагоді студентам, викладачам і професіоналам, яким потрібно:

Знайти об'єм області в тривимірному просторі
Обчислювати інтеграли в різних системах координат
Зрозуміти, як межі інтегрування пов'язані з геометричними фігурами
Отримати покроковий розбір процесу інтегрування
Візуалізувати 3D-області для кращого розуміння багатовимірного аналізу

Пошаговое вычисление тройного интеграла

Виберіть систему координат: Оберіть декартову (x, y, z), циліндричну (r, θ, z) або сферичну (ρ, θ, φ) залежно від форми області.
Введіть підінтегральну функцію: Наприклад, x^2 + y^2 + z^2 у декартових координатах.
Задайте межі інтегрування: Введіть нижню та верхню межі для кожної змінної. Також можна використовувати готові форми, як-от одинична сфера або циліндр.
Виберіть опції: Увімкніть або вимкніть показ покрокового розв'язку, числових результатів або візуалізації.
Натисніть "Обчислити інтеграл": Перегляньте результат, покроковий розбір кожного етапу інтегрування та, за потреби, взаємодійте з 3D-візуалізацією.

Поддержка координат и визуализация 3D

Підтримка декартових, циліндричних та сферичних координат
Надання символьних і числових результатів
Вбудовані готові області для типових фігур
Візуалізація областей у 3D з можливістю обертання та масштабування
Покроковий розбір кожного етапу інтегрування для навчання

Корисно для вивчення суміжних тем

Потрійні інтеграли часто зустрічаються разом з іншими темами багатовимірного аналізу. Цей калькулятор доповнює такі інструменти, як:

Калькулятор частинних похідних: Досліджуйте, як функції змінюються за окремими змінними, використовуючи частинні похідні або розв'язувач похідних багатьох змінних.
Калькулятор первісних: Обчислюйте невизначені інтеграли та розв'язуйте задачі на інтегрування покроково.
Калькулятор інтегралів: Розв'язуйте визначені або невизначені інтеграли однієї змінної для базової практики.
Калькулятор похідної за напрямком: Розумійте градієнти та те, як функція змінюється в заданих напрямках.
Калькулятор дотичної площини: Знаходьте площини, які найкраще апроксимують поверхню в точці, за допомогою диференціального аналізу.

Часто задаваемые вопросы о тройных интегралах

Для чого використовується потрійний інтеграл?

Потрійний інтеграл зазвичай використовується для обчислення об'ємів, маси та інших величин у тривимірній області. Це ключове поняття у фізиці, інженерії та багатовимірному аналізі.

Яку систему координат обрати?

Обирайте ту, яка відповідає симетрії вашої області:

Декартова – для кубів, паралелепіпедів і прямокутних тіл
Циліндрична – для циліндрів і кругових форм
Сферична – для сфер, півсфер і радіальної симетрії

Чи може цей калькулятор показувати кроки?

Так. Ви можете увімкнути опцію "Показати покроковий розв'язок", щоб побачити інтеграл, розписаний поетапно. Це ідеально для навчання та перевірки ваших обчислень.

Що робити, якщо мені потрібен лише числовий результат?

Увімкніть опцію "Обчислити числовий результат", щоб отримати приблизне десяткове значення. Це корисно, коли символьне інтегрування надто складне.

Чи підходить цей калькулятор для використання в класі?

Безумовно. Цей калькулятор ідеально підходить для студентів і викладачів, щоб практикуватися, перевіряти домашні завдання або використовувати під час занять.

Практическое применение тройных интегралов

Незалежно від того, чи намагаєтеся ви обчислити об'єми, аналізувати фізичні системи або поглибити своє розуміння аналізу, калькулятор потрійних інтегралів надає чіткі та практичні результати. Це корисний інструмент для багатовимірного аналізу, який бездоганно працює разом з іншими концепціями, такими як частинні похідні, методи інтегрування та векторний аналіз.